Modèle de la sphère pleine

Bien que conceptuellement clair, l`expression mathématique du modèle à quatre sphères en avant est tout à fait impliquée et la dérivation de l`expression nous avons découvert des erreurs dans les formules à la fois dans le papier d`origine et dans le livre. En raison de l`importance du modèle à quatre sphères, nous dérivons ici et fournissons les formules analytiques correctes pour référence future. Nous avons testé nos formules en vérifiant que les solutions pour les couches voisines correspondaient aux limites de la couche. De plus, lorsque les conductivités de toutes les couches du modèle ont été fixées à la même valeur, le modèle a été réduit au modèle homogène à sphère unique bien connu comme il se doit. Nous avons également vérifié que la solution du modèle réduit à la formule pour le potentiel extracellulaire d`un dipôle courant dans un espace homogène infini, lorsque les rayons de la couche vont à l`infini et les conductivités pour toutes les couches de modèle sont égales (non illustré). En tant qu`application, nous avons effectué des simulations FEM du modèle à quatre sphères qui étaient compatibles avec les formules analytiques corrigées. est aussi l`équation d`une sphère pour les valeurs arbitraires des paramètres s et t. L`ensemble de toutes les sphères satisfaisant cette équation est appelé un crayon de sphères déterminées par les deux sphères originales. Dans cette définition, une sphère est autorisée à être un plan (rayon infini, Centre à l`infini) et si les deux sphères d`origine sont des plans, alors toutes les sphères du crayon sont des plans, sinon il n`y a qu`un seul plan (le plan radical) dans le crayon. Comme un cercle dans un espace à deux dimensions, une sphère est définie mathématiquement comme l`ensemble de points qui sont tous à la même distance r à partir d`un point donné, mais dans un espace tridimensionnel.

[2] cette distance r est le rayon de la balle, qui est constitué de tous les points avec une distance inférieure à (ou, pour une balle fermée, inférieure ou égale à) r à partir du point donné, qui est le centre de la balle mathématique. Ceux-ci sont également appelés le rayon et le centre de la sphère, respectivement. Le segment le plus long de la ligne droite à travers la balle, reliant deux points de la sphère, traverse le centre et sa longueur est donc deux fois le rayon; C`est un diamètre de la sphère et de sa bille. Dans la section des résultats, nous comparons notre solution analytique et les simulations FEM avec les deux formules publiées pour le potentiel dans le modèle à quatre sphères donnée dans les appendices G et H dans les Nunez et le (2006), et dans l`appendice A de l`annexe A dans le rapport de m. et coll. (1998). À titre de comparaison, nous présentons également la solution approximative fournie à l`appendice G. 4 dans Nunez et à la 2006. Il est à noter que deux corrections ont été apportées au modèle présenté dans l`acte de référence (1998), avant comparaison. Tout d`abord, le facteur de multiplication p/Σ1 a été inséré dans l`équation (A-1), nécessaire pour donner des potentiels en unités de volts. Deuxièmement, un exposant dans l`équation (A-8) a été modifié, de sorte que le côté droit comprenait an2 au lieu de an3, puisque c`était manifestement une erreur typographique. Pour plus de détails sur les différentes descriptions du modèle analytique à quatre sphères, voir l`appendice 1 des documents supplémentaires.

Une sphère peut également être construite comme la surface formée en tournant un cercle autour de n`importe quel de ses diamètres. Comme un cercle est un type spécial d`ellipse, une sphère est un type spécial d`ellipsoïde de révolution.